轻量字符串算法——KMP(AC自动机模板)和Manachar

$\ \ \ \ \ \ \ \,$一些简单字符串相关算法的复习笔记:

KMP

$\ \ \ \ \ \ \,$kmp是用来处理字符串匹配的常见简单算法,网上可以找到很多讲解,这里就不细讲了,一笔带过。

$\ \ \ \ \ \ \,$我们知道,暴力匹配两个字符串的复杂度是$O(n^2)$的,很多时候我们都不能接受这个复杂度,考虑如何减小复杂度,我们发现在暴力匹配的过程中,会重复匹配很多地方,所以我们从这里下手,进行优化。

$\ \ \ \ \ \ \,$引入kmp算法最核心的东西—— $ next$ 数组:

$\ \ \ \ \ \ \,$代表当前字符之前的字符串中,有多大长度的相同前缀。例如如果 $next [j] = k$,代表位置 $j$ 之前的字符串中有最大长度为 $k $ 的相同前缀。

$\ \ \ \ \ \ \,$意味着在某个字符失配时,告诉你下一步匹配中,模式串应该跳到哪个位置($next [j]$ )。如果 $next [j]$ 等于$-1$,则跳到模式串的开头字符,若 $next [j] = k$ 且 $k > 0$,代表下次匹配跳到 $j$ 之前的某个字符,而不是跳到开头,跳过了 $k$ 个曾经匹配过的字符。

$\ \ \ \ \ \ \,$为什么这 $k$ 个字符就这样逃过了?我们可以这样感性地理解:

$\ \ \ \ \ \ \,$若是在 $j$ 这个位置失配,那么说明在这个位置之前,模式串和文本串是可以匹配的,也就是一样的,那么我们要是可以预处理下次跳到的地方就好了,这个就是我们预处理的结果:$ next$ 数组。

$\ \ \ \ \ \ \,$这样我们的匹配复杂度就降为$O(n)$:

$\ \ \ \ \ \ \,$假设现在文本串$S$匹配到 $i$ 位置,模式串$P$匹配到 $j$ 位置

  • 如果$j = -1$,或者当前字符匹配成功(即$S[i] = P[j]$),$i$,$j$都加一,继续匹配下一个字符;

  • 如果$j \neq -1$,且当前字符匹配失败(即$S[i] \neq P[j]$),则令 $i$ 不变,$j = next[j]$。此举意味着失配时,模式串P相对于文本串S向右移动了$j - next [j]$ 位。

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while(i<slen&&j<plen){
if(j==-1||s[i]==p[j])i++,j++;
else j=Next[j];
if(j==plen)j=Next[j];//到这里就匹配到了一个模式串了。
}

$\ \ \ \ \ \ \,$那么我们如何快速地求出$ next$ 数组?

$\ \ \ \ \ \ \,$这个过程相当于自己与自己匹配,假设现在对于字符串$p$,已经处理到了 $k$ 位置,和自己匹配到了 $j$ 位置(显然$k>j$):

  • 如果$j>0$,并且$p[k]\neq p[j]$,那么就是和自己失配了,$j = next[j]$;

  • 如果$p[k]= p[j]$,那么就是是适配了,$k$,$j$都加一,同时如果下次匹配的时候在 $k+1$ 处失配了,那么我们就跳过枚举前面 $k$ 个元素,直接匹配 $j+1$,所以 $next[k+1]=j+1$。

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int j=0;next[0]=-1;
for(int k=1;k<n;k++){
while(j>0&&(p[k]!=p[j])) j=next[j];
j+=(p[k]==p[j]);next[k+1]=j;
}

$\ \ \ \ \ \ \,$复杂度$O(n)$。

$\ \ \ \ \ \ \,$单字符串匹配的话,就是模板题不说了,kmp最重要的,还是对$ next$ 数组的运用。(多字符串匹配我还是信仰Sam,XD),还是贴一个AC自动机的模板XD:

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struct AC_Automata{
int son[26][N],fail[N],appear[N];
int size;
void Get_trie(char s[],int id){
int len=strlen(s),now=0;
for(int i=0;i<len;i++){
if(!son[s[i]-'a'][now])son[s[i]-'a'][now]=++size;
now=son[s[i]-'a'][now];
}
appear[now]=id;
}
void Get_fail(){
queue<int> Q;
for(int i=0;i<26;i++)if(son[i][0]!=0)
fail[son[i][0]]=0,Q.push(son[i][0]);
while(!Q.empty()){
int u=Q.front();Q.pop();
for(int i=0;i<26;i++)
if(son[i][u])fail[son[i][u]]=son[i][fail[u]],Q.push(son[i][u]);
else son[i][u]=son[i][fail[u]];
}
}
int query(char s[]){
int len=strlen(s),now=0;
for(int i=0;i<len;i++){
now=son[s[i]-'a'][now];
for(int t=now;t;t=fail[t])
//something about appear[t];
}
}
};

P3193 [HNOI2008]GT考试

$\ \ \ \ \ \ \,$很明显的,我们会得到一个DP方程式:

$\ \ \ \ \ \ \,$我们令$f(i,j)$表示我们$X$已经处理到了$i$,其中出现了长度为$j$的连续不吉利数字。

$\ \ \ \ \ \ \,$答案显然就是$\sum_{i=0}^{m-1}f(n,i)$,现在考虑如何转移。

$\ \ \ \ \ \ \,$令$g(i,j)$表示,在长度为$j$的连续不吉利数字后,跟上数字$j$后,不吉利数字的长度。

$\ \ \ \ \ \ \,$那么就有:

$f(i,j)=\sum_{b=0}^{9} f(i,a)[j=g(a,b)]$

$\ \ \ \ \ \ \,$其中$g(a,b)$就可以用kmp的$ next$ 数组找到:

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int g(int j,int k){
while(j!=-1&&a[j]!=k)j=next[j];
return j+1;
}

$\ \ \ \ \ \ \,$我们可以花$O(10\cdot m^2)$的时间把$g$预处理出来,如何$O(nm)$来dp,但是$n$特别大,于是我们用矩阵来优化,完整代码如下:

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#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cctype>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<string>
#include<queue>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<map>
#include<set>
using namespace std;
const int inf=0x7fffffff;
const double eps=1e-10;
const double pi=acos(-1.0);
//char buf[1<<15],*S=buf,*T=buf;
//char getch(){return S==T&&(T=(S=buf)+fread(buf,1,1<<15,stdin),S==T)?0:*S++;}
inline int read(){
int x=0,f=1;char ch;ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') f=0;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch&15);ch=getchar();}
if(f)return x;else return -x;
}
const int N=30;
int n,m,mod;
char s[N];
int a[N];
int f[N][N],ans;
struct Matrix{int n,m;int a[N][N];}A,B;
inline Matrix operator *(const Matrix &a,const Matrix &b){
Matrix ret;
ret.n=a.n;ret.m=b.m;
for(int i=0;i<=a.n;i++)
for(int j=0;j<=b.m;j++){
ret.a[i][j]=0;
for(int k=0;k<=a.m;k++)
ret.a[i][j]=(ret.a[i][j]+a.a[i][k]*b.a[k][j]%mod)%mod;
}
return ret;
}
int next[N];
int g(int j,int k){
while(j!=-1&&a[j+1]!=k)j=next[j];
return j+1;
}
int main()
{
n=read();m=read();mod=read();
scanf("%s",s+1);
for(int i=1;i<=m;i++)a[i]=s[i]-'0';
next[0]=-1;
for(int j=-1,i=1;i<=m;next[i++]=++j)
while(j!=-1&&a[i]!=a[j+1])j=next[j];
A.n=0;A.m=m-1;
B.m=B.n=m-1;
A.a[0][0]=1;
for(int i=0;i<m;i++)
for(int j=0;j<=9;j++)
B.a[i][g(i,j)]++;
for(;n;n>>=1,B=B*B)if(n&1)A=A*B;
for(int i=0;i<m;i++) ans=(ans+A.a[0][i])%mod;
printf("%d\n",ans);
return 0;
}

Manachar

$\ \ \ \ \ \ \,$manachar算法特别单一,就是求回文串用的,题一般也特别裸,比较套路。

$\ \ \ \ \ \ \,$首先,我们知道的,回文串分奇偶,但是如果我们在这个串中每一个字符之间都插入一个特殊字符,那么偶回文串就变成奇回文串了,这样我们就可以只处理奇回文串就行了。

$\ \ \ \ \ \ \,$然后就是$RL$数组,表示以这个字符为中点,回文串的最大半径是多少,manachar算法就是$O(n)$求$RL$数组的算法。下面直接将做法,不讲原理了:

$\ \ \ \ \ \ \,$记我们已经处理的回文串已经处理到的最右端为$MR$,他的对称轴为$pos$,现在要处理的位置为$i$,显然$pos<i$。

$\ \ \ \ \ \ \,$如果$MR>i$,那么我们可以确定,已$i$为中点,回文串的最大半径至少是${\rm min}(RL[2\cdot pos-i],MR-i)$。

$\ \ \ \ \ \ \,$剩下的就是暴力扩展,记得到时候更新一下$MR$和$pos$,模板如下:

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int RL[N<<1];
void Manacher(char *s,int n){
int MR=0,pos=0;
memset(RL,0,sizeof(RL));
for(int i=0;i<n;i++){
if(MR>i)RL[i]=min(RL[2*pos-i],MR-i);
else RL[i]=1;
while(s[i+RL[i]]==s[i-RL[i]])RL[i]++;
if(i+RL[i]>MR)MR=i+RL[i],pos=i;
}
}
void insert(char *s,int len){
len=strlen(s);P[0]='$';
for(int i=1;i<=len*2+1;i+=2) P[i]='#';
for(int i=0;i<len;i++) P[i*2+2]=s[i];
}

P4555 [国家集训队]最长双回文串

$\ \ \ \ \ \ \,$在我们求好$RL$后,很明显的有一个dp,我们把对称轴上的信息移动到起始点和终点:

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for(int i=0;i<n;i++){
L[i+RL[i]-1]=max(L[i+RL[i]-1],RL[i]-1);
R[i-RL[i]+1]=max(R[i-RL[i]+1],RL[i]-1);
}

$\ \ \ \ \ \ \,$那么,显然的,答案等于:
${\rm Max}_{i=0}^{n-1}L_i+R_i[L_i\neq0,R_i\neq0]$

$\ \ \ \ \ \ \,$代码如下:

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#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cctype>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<string>
#include<queue>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<map>
#include<set>
using namespace std;
const int inf=0x7fffffff;
const double eps=1e-10;
const double pi=acos(-1.0);
//char buf[1<<15],*S=buf,*T=buf;
//char getch(){return S==T&&(T=(S=buf)+fread(buf,1,1<<15,stdin),S==T)?0:*S++;}
inline int read(){
int x=0,f=1;char ch;ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') f=0;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch&15);ch=getchar();}
if(f)return x;else return -x;
}
const int N=1e5+10;
int RL[N<<1],n;
char s[N],P[N<<1];
int L[N<<1],R[N<<1];
void Manacher(char *s,int n){
int MR=0,pos=0;
for(int i=0;i<n;i++){
if(MR>i)RL[i]=min(RL[2*pos-i],MR-i);
else RL[i]=1;
while(s[i+RL[i]]==s[i-RL[i]])RL[i]++;
if(i+RL[i]>MR)MR=i+RL[i],pos=i;
L[i+RL[i]-1]=max(L[i+RL[i]-1],RL[i]-1);
R[i-RL[i]+1]=max(R[i-RL[i]+1],RL[i]-1);
}
}
void insert(char *s,int len){
len=strlen(s);P[0]='$';
for(int i=1;i<=len*2+1;i+=2) P[i]='#';
for(int i=0;i<len;i++) P[i*2+2]=s[i];
}
int main()
{
scanf("%s",s);n=strlen(s);
insert(s,n);
Manacher(P,n*2+2);
for(int i=1;i<=n*2+1;i+=2)R[i]=max(R[i],R[i-2]-2);
for(int i=n*2+1;i>=1;i-=2)L[i]=max(L[i],L[i+2]-2);
int ans=0;
for(int i=1;i<=2*n+1;i+=2)
if(R[i]&&L[i])ans=max(ans,L[i]+R[i]);
printf("%d\n",ans);
return 0;
}